Tích của hai hàm

Định lý có thể được suy ra như sau. Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi liên tục. Quy tắc nhân phát biểu rằng (theo ký hiệu của Leibniz):

d d x ( u ( x ) v ( x ) ) = v ( x ) d d x ( u ( x ) ) + u ( x ) d d x ( v ( x ) ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\Big (}u(x)v(x){\Big )}=v(x){\frac {d}{dx}}\left(u(x)\right)+u(x){\frac {d}{dx}}\left(v(x)\right).\!}

Tích phân cả hai vế đối với x,

∫ d d x ( u ( x ) v ( x ) ) d x = ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x + ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x {\displaystyle \int {\frac {d}{dx}}\left(u(x)v(x)\right)\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx}

sau đó áp dụng định nghĩa của nguyên hàm,

u ( x ) v ( x ) = ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x + ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x {\displaystyle u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx} ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx}

cho ta công thức tích phân từng phần.

Bởi vì du và dv là các vi phân của một hàm một biến x,

d u = u ′ ( x ) d x d v = v ′ ( x ) d x {\displaystyle du=u'(x)dx\quad dv=v'(x)dx} ∫ u ( x ) d v = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) d u {\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du}

Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (đạo hàm của v); để áp dụng định lý, phải tim nguyên hàm v (của v′), và tính tích phân ∫vu′ dx.

Mở rộng cho các trường hợp khác

Điều kiện u và v khả vi liên tục là không thực cần thiết. Tích phân từng phần chỉ được áp dụng nếu u là liên tục tuyệt đối và hàm được chọn v' phải khả tích Lebesgue (nhưng không nhất thiết là liên tục).[1] (Nếu v' có một điểm gián đoạn thì nguyên hàm v của nó có thể không có đạo hàm tại điểm đó.)

Nếu khoảng tích phân không phải là không gian compact thì u không cần thiết phải hoàn toàn liên tục trong toàn khoảng hoặc v ' không cần thiết phải là khả tích Lebesgue trong khoảng, như một vài ví dụ sẽ cho thấy, trong đó u và v là liên tục và khả vi liên tục. Ví dụ nếu

u ( x ) = exp ⁡ ( x ) / x 2 , v ′ ( x ) = exp ⁡ ( − x ) {\displaystyle u(x)=\exp(x)/x^{2},\,v'(x)=\exp(-x)}

u không liên tục hoàn toàn trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên

∫ 1 ∞ u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] 1 ∞ − ∫ 1 ∞ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}

miễn là  [ u ( x ) v ( x ) ] 1 ∞ {\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }} có nghĩa là giới hạn u ( L ) v ( L ) − u ( 1 ) v ( 1 ) {\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)}  khi L → ∞ {\displaystyle L\to \infty } và miễn là hai số hạng ở vế phải hữu hạn. Điều này chỉ đúng khi chúng ta chọn  v ( x ) = − exp ⁡ ( − x ) . {\displaystyle v(x)=-\exp(-x).}  Tương tự, nếu

u ( x ) = exp ⁡ ( − x ) , v ′ ( x ) = x − 1 sin ⁡ ( x ) {\displaystyle u(x)=\exp(-x),\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}

v' không khả vi Lebesgue trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên

∫ 1 ∞ u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] 1 ∞ − ∫ 1 ∞ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}

với giải thích tương tự.

Người ta cũng có thể dễ dàng đưa ra những ví dụ như thế này nhưng trong đó u và v không khả vi liên tục.

Tích của nhiều hàm

Áp dụng quy tắc tích để tìm tích phần cho ba hàm nhân nhau, u(x), v(x), w(x), cho kết quả tương tự:

∫ a b u v d w = [ u v w ] a b − ∫ a b u w d v − ∫ a b v w d u . {\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw=[uvw]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.}

Tổng quát với n thừa số

d d x ( ∏ i = 1 n u i ( x ) ) = ∑ j = 1 n ∏ i ≠ j n u i ( x ) d u j ( x ) d x , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)=\sum _{j=1}^{n}\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x){\frac {du_{j}(x)}{dx}},}

dẫn đến

[ ∏ i = 1 n u i ( x ) ] a b = ∑ j = 1 n ∫ a b ∏ i ≠ j n u i ( x ) d u j ( x ) , {\displaystyle {\Bigl [}\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x){\Bigr ]}_{a}^{b}=\sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x)\,du_{j}(x),}

trong đó tích thuộc tất cả các hàm ngoại trừ một hàm được lấy đạo hàm trong cùng số hạng.